制御ステートメントを使用してAWK（GNU）から月名を動的に渡す

こんにちは、AWKを使用してディレクトリを検索するために月と日（6日前、6月29日）を一致させるために以下のコマンドを使用しようとしていますが、結果は予想通り約1800ではなく常に「0」です。

ls -ltr /test/output|awk  -v month="$(date --date="6 days ago" +"\"%b\"")", -v day="$(date --date="6 days ago" +%d)"  '$6 ==month && $7==day {print $9}'|wc -l

また、これを試しました。

ls -ltr /test/output|awk  -v month="$(date --date="6 days ago" +%b)", -v day="$(date --date="6 days ago" +%d)"  '$6 ==month && $7==day {print $9}'|wc -l

しかし、月をハードコーディングすると機能します

ls -ltr /test/output|awk  -v month="$(date --date="6 days ago" +"\"%b\"")", -v day="$(date --date="6 days ago" +%d)"  '$6 =="Jun" && $7==day {print $9}'|wc -l

コードに欠けている部分を提案してください。