あるディレクトリから別のディレクトリにログを継続的にコピーする方法はありますか？

定期的なアップデートが利用可能な場合は、次のものを使用できますrsync --append。

rsync --append source destination

--append
          This  causes rsync to update a file by appending data onto the end of
          the file, which presumes that the data that  already  exists  on  the
          receiving side is identical with the start of the file on the sending
          side. 

十分でない場合は、この--append-verifyオプションを試すこともできます。