バックグラウンドスクリプトが終了した後にアクションを取る

バックグラウンドプロセスとして、次のスクリプトが実行されています。

#!/bin/sh
while true; do
:
done

email_kill_alert() {
echo "" | mailx -s "scritp received kill signal." emailid
}

上記のスクリプトは、コマンドを使用してバックグラウンドプロセスとして実行されますnohup。email_kill_alertスクリプトまたはプロセスIDが終了したらすぐに電子メールを送信する機能をトリガーしたいと思います。使用について読みましたtrapが、実装方法がわかりません。 whileループはファイルをチェックし続けるので無限です。