awkとローカル変数によるフィルタリング

私はコマンドを持っています：

$var=test_file_20200612000000

aws s3 ls [s3 bucket name] --profile [profile name] | grep "test" | awk '$4 > $var'

これはs3バケットのファイルを表示し、渡された文字列変数よりも大きい名前を持つファイルのみを返します（デフォルトでは、以降のタイムスタンプを持つ新しいファイルを探します）。 awkはvar変数を認識しません。この問題を解決するには？