プログラム出力で複数のパターンを評価し、パターン別ファイルを作成する

いくつかの値/数値を出力するスクリプトがあります。これを2つのファイルに分割したいと思います。私は次のようなものを見ています：

./runme.sh | grep 'ook' >> ook.out | grep 'eek' >> eek.out

この場合、2番目のパイプラインは最初のgrepの出力ではなくrunme.shの出力を取得する必要があります。それは可能ですか？