Alpine Linuxにmongo biコネクタをインストールする方法は？

あなたはできません。

mongodb-bi-connectorはオープンソースプロジェクトとしてリリースされません（この場合はAlpine Linux用にビルドしてみることができます）。

代わりに、プリコンパイルされたバイナリとして提供されるため、MongoDBが「Alpine Linux」バージョンをリリースするまではそのまま使用できません。

Alpine Linuxでmongodb-bi-connectorを短期的に使用する唯一のオプションは、Alpine Linuxがホストであり、コンテナがサポートされているディストリビューションであるコンテナ内にあります。