与えられた合計値に達するすべての可能な数字の組み合わせを見つける質問する

Question

この問題は、目標に到達するものを除外して、すべての可能な合計を再帰的に組み合わせることで解決できます。Python でのアルゴリズムは次のとおりです。

def subset_sum(numbers, target, partial=[]):
    s = sum(partial)

    # check if the partial sum is equals to target
    if s == target: 
        print "sum(%s)=%s" % (partial, target)
    if s >= target:
        return  # if we reach the number why bother to continue
    
    for i in range(len(numbers)):
        n = numbers[i]
        remaining = numbers[i+1:]
        subset_sum(remaining, target, partial + [n]) 
   

if __name__ == "__main__":
    subset_sum([3,9,8,4,5,7,10],15)

    #Outputs:
    #sum([3, 8, 4])=15
    #sum([3, 5, 7])=15
    #sum([8, 7])=15
    #sum([5, 10])=15

このタイプのアルゴリズムは、以下で非常によく説明されています。スタンフォード大学の抽象プログラミング講義- 再帰がどのように機能してソリューションの順列を生成するかを理解するには、このビデオが非常にお勧めです。

編集

上記をジェネレーター関数として使用すると、さらに便利になります。のため、Python 3.3 以降が必要ですyield from。

def subset_sum(numbers, target, partial=[], partial_sum=0):
    if partial_sum == target:
        yield partial
    if partial_sum >= target:
        return
    for i, n in enumerate(numbers):
        remaining = numbers[i + 1:]
        yield from subset_sum(remaining, target, partial + [n], partial_sum + n)

同じアルゴリズムの Java バージョンは次のとおりです。

package tmp;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

class SumSet {
    static void sum_up_recursive(ArrayList<Integer> numbers, int target, ArrayList<Integer> partial) {
       int s = 0;
       for (int x: partial) s += x;
       if (s == target)
            System.out.println("sum("+Arrays.toString(partial.toArray())+")="+target);
       if (s >= target)
            return;
       for(int i=0;i<numbers.size();i++) {
             ArrayList<Integer> remaining = new ArrayList<Integer>();
             int n = numbers.get(i);
             for (int j=i+1; j<numbers.size();j++) remaining.add(numbers.get(j));
             ArrayList<Integer> partial_rec = new ArrayList<Integer>(partial);
             partial_rec.add(n);
             sum_up_recursive(remaining,target,partial_rec);
       }
    }
    static void sum_up(ArrayList<Integer> numbers, int target) {
        sum_up_recursive(numbers,target,new ArrayList<Integer>());
    }
    public static void main(String args[]) {
        Integer[] numbers = {3,9,8,4,5,7,10};
        int target = 15;
        sum_up(new ArrayList<Integer>(Arrays.asList(numbers)),target);
    }
}

まったく同じヒューリスティックです。私の Java は少し錆びていますが、理解しやすいと思います。

Java ソリューションの C# 変換: (@JeremyThompson)

public static void Main(string[] args)
{
    List<int> numbers = new List<int>() { 3, 9, 8, 4, 5, 7, 10 };
    int target = 15;
    sum_up(numbers, target);
}

private static void sum_up(List<int> numbers, int target)
{
    sum_up_recursive(numbers, target, new List<int>());
}

private static void sum_up_recursive(List<int> numbers, int target, List<int> partial)
{
    int s = 0;
    foreach (int x in partial) s += x;

    if (s == target)
        Console.WriteLine("sum(" + string.Join(",", partial.ToArray()) + ")=" + target);

    if (s >= target)
        return;

    for (int i = 0; i < numbers.Count; i++)
    {
        List<int> remaining = new List<int>();
        int n = numbers[i];
        for (int j = i + 1; j < numbers.Count; j++) remaining.Add(numbers[j]);

        List<int> partial_rec = new List<int>(partial);
        partial_rec.Add(n);
        sum_up_recursive(remaining, target, partial_rec);
    }
}

Ruby ソリューション: (by @emaillenin)

def subset_sum(numbers, target, partial=[])
  s = partial.inject 0, :+
# check if the partial sum is equals to target

  puts "sum(#{partial})=#{target}" if s == target

  return if s >= target # if we reach the number why bother to continue

  (0..(numbers.length - 1)).each do |i|
    n = numbers[i]
    remaining = numbers.drop(i+1)
    subset_sum(remaining, target, partial + [n])
  end
end

subset_sum([3,9,8,4,5,7,10],15)

編集: 複雑さに関する議論

他の人が言うように、これはNP困難問題これは指数時間 O(2^n) で解くことができ、たとえば n=10 の場合、1024 通りの解が考えられます。到達しようとしているターゲットが低い範囲にある場合、このアルゴリズムは機能します。たとえば、次のようになります。

subset_sum([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],100000)ターゲットが可能な解決策を除外できないため、1024 個のブランチが生成されます。

一方、subset_sum([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],10)到達すべきターゲット10が多くの組み合わせを除外するため、生成されるブランチは 175 個のみです。

Nとが大きな数値である場合は、Target解の近似値に移行する必要があります。

Answer 1