私は特別なカメラを使って、1秒の固定間隔で物体のx、y座標(cm単位)を測定しています。データはnumpy配列に格納されています。
a = np.array([ [ 0. , 0. ],[ 0.3 , 0. ],[ 1.25, -0.1 ],[ 2.1 , -0.9 ],[ 2.85, -2.3 ],[ 3.8 , -3.95],[ 5. , -5.75],[ 6.4 , -7.8 ],[ 8.05, -9.9 ],[ 9.9 , -11.6 ],[ 12.05, -12.85],[ 14.25, -13.7 ],[ 16.5 , -13.8 ],[ 19.25, -13.35],[ 21.3 , -12.2 ],[ 22.8 , -10.5 ],[ 23.55, -8.15],[ 22.95, -6.1 ],[ 21.35, -3.95],[ 19.1 , -1.9 ]])
曲線は次のようになります。
plt.scatter(a[:,0], a[:,1])
質問:
各ポイントでの接線方向および半径方向の加速度ベクトルを計算するにはどうすればよいでしょうか? 関連する可能性のある数式をいくつか見つけました:
vx
とvy
投影を簡単に計算できますnp.diff(a, axis=0)
が、私は NumPy/Python の初心者なので、これ以上続けるのは私には無理です。各ポイントの曲率を計算できれば、私の問題も解決します。誰か助けてくれませんか?
ベストアンサー1
編集: 数時間かけてこの回答を何度もまとめたので、曲率だけが必要であることを示す最新の編集を見逃してしまいました。いずれにしても、この回答が役立つことを願っています。
曲線フィッティングを行う以外に、導関数を近似する方法は、有限差分numpy
ありがたいことに、gradient
この方法は、各内部ポイントの前後の傾きを平均化し、各エンドポイントをそのままにするなどの詳細を処理し、これらの差の計算を自動的に実行します。
import numpy as np
a = np.array([ [ 0. , 0. ],[ 0.3 , 0. ],[ 1.25, -0.1 ],
[ 2.1 , -0.9 ],[ 2.85, -2.3 ],[ 3.8 , -3.95],
[ 5. , -5.75],[ 6.4 , -7.8 ],[ 8.05, -9.9 ],
[ 9.9 , -11.6 ],[ 12.05, -12.85],[ 14.25, -13.7 ],
[ 16.5 , -13.8 ],[ 19.25, -13.35],[ 21.3 , -12.2 ],
[ 22.8 , -10.5 ],[ 23.55, -8.15],[ 22.95, -6.1 ],
[ 21.35, -3.95],[ 19.1 , -1.9 ]])
ここで、各変数の導関数を計算し、それらをまとめます (何らかの理由で、 を呼び出すとnp.gradient(a)
、配列のリストが取得されます...何が起こっているのかすぐにはわかりませんが、今のところは回避策を講じます)。
dx_dt = np.gradient(a[:, 0])
dy_dt = np.gradient(a[:, 1])
velocity = np.array([ [dx_dt[i], dy_dt[i]] for i in range(dx_dt.size)])
これにより、次のベクトルが得られますvelocity
。
array([[ 0.3 , 0. ],
[ 0.625, -0.05 ],
[ 0.9 , -0.45 ],
[ 0.8 , -1.1 ],
[ 0.85 , -1.525],
[ 1.075, -1.725],
[ 1.3 , -1.925],
[ 1.525, -2.075],
[ 1.75 , -1.9 ],
[ 2. , -1.475],
[ 2.175, -1.05 ],
[ 2.225, -0.475],
[ 2.5 , 0.175],
[ 2.4 , 0.8 ],
[ 1.775, 1.425],
[ 1.125, 2.025],
[ 0.075, 2.2 ],
[-1.1 , 2.1 ],
[-1.925, 2.1 ],
[-2.25 , 2.05 ]])
の散布図を見るとそれが分かりますa
。
さて、速度については、速度ベクトルの長さを取ります。しかし、ここであまり考慮していないことが 1 つあります。すべては関数であるt
したがって、 は、や と同様に、のベクトル関数ではなく、ds/dt
のスカラー関数です。したがって、 を 1 秒間隔ごとの値の配列として表します。各値は、各秒の速度の近似値に対応します。t
t
dx/dt
dy/dt
ds_dt
numpy
ds_dt = np.sqrt(dx_dt * dx_dt + dy_dt * dy_dt)
これにより、次の配列が生成されます。
array([ 0.3 , 0.62699681, 1.00623059, 1.36014705, 1.74588803,
2.03254766, 2.32284847, 2.57512136, 2.58311827, 2.48508048,
2.41518633, 2.27513736, 2.50611752, 2.52982213, 2.27623593,
2.31651678, 2.20127804, 2.37065392, 2.8487936 , 3.04384625])
これも、 の散布図上の点の間の隙間を見ると、ある程度は意味をなしますa
。物体は速度を上げ、角を曲がるときに少し減速し、その後さらに速度を上げます。
ここで、単位接線ベクトルを見つけるには、 を小さな変換して、ds_dt
そのサイズが と同じになるようにする必要があります (これにより、ベクトル値関数をスカラー関数 (の表現) でvelocity
効果的に除算できるようになります)。velocity
ds_dt
tangent = np.array([1/ds_dt] * 2).transpose() * velocity
これにより、次のnumpy
配列が生成されます。
array([[ 1. , 0. ],
[ 0.99681528, -0.07974522],
[ 0.89442719, -0.4472136 ],
[ 0.5881717 , -0.80873608],
[ 0.48685826, -0.87348099],
[ 0.52889289, -0.84868859],
[ 0.55965769, -0.82872388],
[ 0.5922051 , -0.80578727],
[ 0.67747575, -0.73554511],
[ 0.80480291, -0.59354215],
[ 0.90055164, -0.43474907],
[ 0.97796293, -0.2087786 ],
[ 0.99755897, 0.06982913],
[ 0.9486833 , 0.31622777],
[ 0.77979614, 0.62603352],
[ 0.48564293, 0.87415728],
[ 0.03407112, 0.99941941],
[-0.46400699, 0.88583154],
[-0.67572463, 0.73715414],
[-0.73919634, 0.67349 ]])
次の 2 つの点に注意してください。1. の各値においてt
、tangent
は と同じ方向を指しvelocity
、2. の各値においてt
、tangent
は単位ベクトルです。実際、次のようになります。
[12]では:
In [12]: np.sqrt(tangent[:,0] * tangent[:,0] + tangent[:,1] * tangent[:,1])
Out[12]:
array([ 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.,
1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.])
ここで、接線ベクトルの導関数を取り、その長さで割って単位法線ベクトルを取得するので、同じトリックを実行します(tangent
便宜上、 の成分を分離します)。
tangent_x = tangent[:, 0]
tangent_y = tangent[:, 1]
deriv_tangent_x = np.gradient(tangent_x)
deriv_tangent_y = np.gradient(tangent_y)
dT_dt = np.array([ [deriv_tangent_x[i], deriv_tangent_y[i]] for i in range(deriv_tangent_x.size)])
length_dT_dt = np.sqrt(deriv_tangent_x * deriv_tangent_x + deriv_tangent_y * deriv_tangent_y)
normal = np.array([1/length_dT_dt] * 2).transpose() * dT_dt
これにより、次のベクトルが得られますnormal
。
array([[-0.03990439, -0.9992035 ],
[-0.22975292, -0.97324899],
[-0.48897562, -0.87229745],
[-0.69107645, -0.72278167],
[-0.8292422 , -0.55888941],
[ 0.85188045, 0.52373629],
[ 0.8278434 , 0.56095927],
[ 0.78434982, 0.62031876],
[ 0.70769355, 0.70651953],
[ 0.59568265, 0.80321988],
[ 0.41039706, 0.91190693],
[ 0.18879684, 0.98201617],
[-0.05568352, 0.99844847],
[-0.36457012, 0.93117594],
[-0.63863584, 0.76950911],
[-0.89417603, 0.44771557],
[-0.99992445, 0.0122923 ],
[-0.93801622, -0.34659137],
[-0.79170904, -0.61089835],
[-0.70603568, -0.70817626]])
法線ベクトルは曲線が曲がる方向を表していることに注意してください。上のベクトルは、 の散布図と合わせて見ると意味をなしますa
。特に、5 番目のポイント以降は下向きから上向きに変わり、12 番目のポイント以降は (x 軸に対して) 左に曲がり始めます。
最後に、加速度の接線成分と法線成分を得るためには、、、s
のに関する2 次導関数が必要です。そうすると、曲率と残りの成分が得られます (これらはすべて のスカラー関数であることに留意してください)。x
y
t
t
d2s_dt2 = np.gradient(ds_dt)
d2x_dt2 = np.gradient(dx_dt)
d2y_dt2 = np.gradient(dy_dt)
curvature = np.abs(d2x_dt2 * dy_dt - dx_dt * d2y_dt2) / (dx_dt * dx_dt + dy_dt * dy_dt)**1.5
t_component = np.array([d2s_dt2] * 2).transpose()
n_component = np.array([curvature * ds_dt * ds_dt] * 2).transpose()
acceleration = t_component * tangent + n_component * normal