スクリプトでエラーが発生したときにエラーログを含む電子メールを送信するようにcronをどのように取得しますか？

SQLデータベースでエラーを確認し、エラーをログファイルに記録するスクリプトを実行するcronジョブがあります。ログファイルは、スクリプトを実行するコマンドに提供されます。スクリプトでエラーが検出された場合にのみ電子メールを受信したい場合は、電子メールにログを含めたいと思います。スクリプトでエラーが見つからない場合は、電子メールを受信したくありません。明らかに、スクリプトはエラーが見つからなかったときにログに記録します（私はこれを書いていません）。

    20 6-10 * * 1-5 ~/job_failure_test.sh -o ~/job_fail.log 2>&1 /dev/null | mail -s "Errors" [email protected] < ~/job_fail.log

これまで、この行はログにエラーが記録されたときに私に電子メールを送信しますが、更新されたログは送信しません。最後に実行されたクローンジョブのログを私に送信します。